Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

4

）=

1

2

f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

2010

）的值为（　　）

• A、

  1

  256

• B、

  1

  128

• C、

  1

  64

• D、

  1

  32

Answer 1

分析：能灵活运用题目中的条件f（x）+f（1-x）=1，f（

x

4

）=

1

2

f（x）解决问题．理解 当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂）的含义并能对抽象函数的解题思路了如指掌．

解答：解：由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1 又令x=

1

2

得：f(

1

2

) =

1

2

  
由f（

x

4

）=

1

2

f（x）得：f(

1

4

) =

1

2

f(1)=

1

2

∵当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），∴当

1

4

≤x ≤

1

2

时，f(x)=

1

2

 
当

1

2

≤x ≤

3

4

时，

1

4

≤1-x≤ 

1

2

，∴f(1-x)=

1

2

，∴f(x)=1- f(1-x)= 1-

1

2

=

1

2

又由f（

x

4

）=

1

2

f（x）得：f(

1

2010

) =

1

2

f(

2

1005

) =

1

4

f(

8

1005

)=

1

8

f(

32

1005

)=

1

16

f(

128

1005

)=

1

32

f(

512

1005

)
∵

1

2

＜

512

1005

＜

3

4

，∴f(

512

1005

) =

1

2

，∴f(

1

2010

) =

1

32

×

1

2

=

1

64

故选C

点评：此题考查了抽象函数与单调性问题．在解答的过程当中充分体现了特值的思想、函数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．