Question

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有，．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过已知表达式，求出，当b=2时，说明是首项为1，公比为2的等比数列，然后求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，利用，推出，通过b=0，1，≠0，1分别求解数列{a_n}的前n项和S_n．
另解通过求出a₁，b=0，1与b≠0，1，利用是以为首项，为公比的等比数列，求出数列的和即可．
解答：解：由题意知a₁=2，且，
两式相减得
即①
（1）当b=2时，由①知
于是=
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．
故知，，
再由，得．
（2）当b≠2时，由①得=
若b=0，
若b=1，，
若b≠0、1，数列是以为首项，以b为公比的等比数列，
故，，

b=1时，符合上式
所以，当b≠0时，
当b=0时，
另解：
当n=1时，S₁=a₁=2
当n≥2时，∵∴
∴
若b=0，
若b≠0，两边同除以2ⁿ得
令，即
由得∴是以为首项，为公比的等比数列
∴，
所以，当b≠0时，
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，等比数列的判定，考查分析问题解决问题的能力．