Question

15．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围．
（2）若$k=\frac{1}{2}$，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离$\sqrt{2}＞\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≥\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，可求k的值；
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x²+y²=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点

解答 解：（1）由题意，$\sqrt{2}＞\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≥\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，
∴$-\sqrt{3}＜k＜-1$或1$＜k＜\sqrt{3}$；
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P（t，$\frac{1}{2}t-2$），其方程为：$x（x-t）+y（y-\frac{1}{2}t+2）=0$，
又C、D在圆O：x²+y²=2上
∴l_CD：$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2=0$，
即$（x+\frac{y}{2}）t-2y-2=0$
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴直线CD过定点（$\frac{1}{2}$，-1）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．