Question

已知函数f(x)的图象可由函数g(x)=(m为非零常数)的图象向右平移两个单位而得到.

(1)写出函数f(x)的解析式；

(2)证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称；

(3)当x∈M时，函数f(x)的最大值为2+m²,最小值为2-，试确定集合M，并说明理由.

Answer 1

(1)解：f(x)=g(x-2)=2+.

(2)证明：为了证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称，只要证明f^-1(x)=f(x)即可.

由y=2+可解得x=2+.交换字母x、y即得f^-1(x)=2+.

∴f^-1(x)=f(x)，即f(x)的图象关于直线y=x对称.

(3)解：f(x)=2+的图象可看作是由关于原点对称的函数p(x)=的图象向右平移两个单位再向上平移两个单位而得到的，如下图所示.

    故f(x)在(-∞,2)上单调递减且无最小值，在(2,+∞)上也是单调递减且无最大值，为使f(x)在集合M上有最大值和最小值，集合M一定是(-∞,x₁)∪［x₂,+∞］的形式，其中x₁＜2,x₂＞2.

    由

    解得x₁=-,x₂=.∴M={x|x≤-或x≥}.