Question

如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．
（1）求证：SA∥平面PCD；
（2）求异面直线SA与PD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据OP为△ABS的中位线，故有SA∥OP．再根据直线和平面平行的判定定理证得SA∥平面PCD．
（2）由（1）结合异面直线所成的角的定义可得∠OPD即为异面直线SA与PD所成角．直角三角形OPD中，根据tan∠OPD=

OD

OP

，运算求得结果．

解答：解：（1）圆锥SO中，P为SB的中点，故OP为△ABS的中位线，故有SA∥OP．
由于OP在平面PCD内，而SA不在平面PCD内，故有SA∥平面PCD．
（2）由SA∥OP，结合异面直线所成的角的定义可得∠OPD即为异面直线SA与PD所成角．
由AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，可得CD⊥平面SOB，
而OP在平面SOB内，故有CD⊥OP．
直角三角形OPD中，OD=2，OP=

1

2

SA=

1

2

SB=

2

，故tan∠OPD=

OD

OP

=

2

2

=

2

，
即异面直线SA与PD所成角的正切值为

2

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．