Question

一条直线经过抛物线y²=2x的焦点F，且交抛物线于A、B两点，点C为抛物线的准线上一点．
（Ⅰ）求证：∠ACB不可能是钝角；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出点C的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为x=ty+

1

2

，与抛物线方程联立

y2=2x x=ty+ 1 2

得y²-2ty-1=0，利用韦达定理就，及用坐标表示向量，计算向量的数量积，即可证得结论；
（Ⅱ）假设存在这样的点C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中点坐标M（t2+

1

2

，t）．先确定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，确定C（-

1

2

，t3+2t），利用|CM|=

3

2

|AB|，从而可得点C的坐标，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-

1

2

，m），直线AB的方程为x=ty+

1

2

．
由

y2=2x x=ty+ 1 2

得y²-2ty-1=0，则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-1．
于是x1+x2=t(y1+y2)+1=2t2+1，x1x2=

y 2 1

2

•

y 2 2

2

=

1

4

．…3
∵

CA

=(x1+

1

2

，y1-m)，

CB

=(x2+

1

2

，y2-m)，
于是

CA

•

CB

=x1x2+

1

2

(x1+x2)+

1

4

+y1y2-m(y1+y2)+m2=t2-2mt+m2=(t-m)2≥0，
所以∠ACB不可能是钝角．…2
（Ⅱ）解：假设存在这样的点C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中点坐标M（t2+

1

2

，t）．
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），点C的坐标只可能是（-

1

2

，0）．
由|CM|=

3

2

|AB|得1=

3

2

•2，这是不可能的，于是AB的斜率必存在．…3
②由CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，即

t-m

t2+ 1 2 + 1 2

•

1

t

=-1，得m=t³+2t，从而C（-

1

2

，t3+2t）．
|CM|=

(t2+ 1 2 + 1 2 )2+(t3+2t-t)2

=(t2+1)

t2+1

，
|AB|=

(t2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(t2+1)(4t2+4)

=2(t2+1)．
由|CM|=

3

2

|AB|得(t2+1)

t2+1

=

3

2

•2(t2+1)，解之得t=±

2

．
此时点C（-

1

2

，±4

2

）．故存在点C（-

1

2

，±4

2

），使得△ABC是正三角形．…6

点评：本题考查抛物线的应用，考查向量知识，考查存在性问题，解题的关键直线与抛物线的联立，灵活运用韦达定理求解．