Question

6．若函数f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $[{\frac{1}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 求导函数，利用函数f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，分离参数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：求导函数可得：f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$≥0在（2，+∞）上恒成立
∴a≥$\frac{1}{x}$
函数y=$\frac{1}{x}$，在（2，+∞）上单调减，
∴x=2时，函数y取得最大值$\frac{1}{2}$
∴a≥$\frac{1}{2}$
实数a的取值范围是：$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，解题的关键是正确运用导数求函数的单调性，利用分离参数法解决恒成立问题．