Question

判断下列各命题正确与否：
（1）若≠0，•=•，则=；
（2）若•=•，则≠当且仅当=0时成立；
（3）=对任意向量、、都成立；
（4）对任一向量，有²=||²．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）可由数量积的定义判断．
（3）通过计算判断．
（4）把²转化成•=||²可判断．
解答：解：（1）•=•，∴||||cosα=||||cosβ（其中α、β分别为与，与的夹角）．∵||≠0，∴||cosα=||cosβ．
∵cosα与cosβ不一定相等，∴||与||不一定相等．∴与也不一定相等．∴（1）不正确．
（2）若•=•，则||||cosα=||||cosβ（α、β为与，与的夹角）．
∴||（||cosα-||cosβ）=0．
∴||=0或||cosα=||cosβ．
当≠时，||cosα与||cosβ可能相等．
∴（2）不正确．
（3）（•）=（||||cosα），
（•）=||||cosθ（其中α、θ分别为与，与的夹角）．
（•）是与共线的向量，
（•）是与共线的向量．
∴（3）不正确．（4）正确．
点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．