Question

如图,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AC与BD交于点E,BC₁与B₁C交于点F.

(1)求证:A₁C⊥平面BDC₁;

(2)求二面角B—EF—C的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

分析：对于正方体的相关问题，通常可以考虑通过建立直角坐标系来解决，要证明线面垂直，根据线面垂直的判定定理，证明直线与这个面内的相交两直线垂直，利用向量的数量积知识，转而证明相应的向量的数量积为零即可；要求二面角的大小，可以考虑先求得对应的二面角的两个面的法向量的夹角，由此求得对应的二面角的大小.

(1)证明:以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,1,0),A₁(1,1,1),C₁(0,0,1),D₁(1,0,1),

∴=(1,1,1),=(1,-1,0),=(-1,0,1),·=-1+1=0,

∴·=1-1=0,即CA₁⊥DC₁,CA₁⊥BD.

又BD∩DC₁=D,∴A₁C⊥平面BDC₁.

(2)解：同(1)可证,BD₁⊥平面AB₁C,

〈,〉就是所求的二面角的平面角的补角.

∵=(-1,-1,-1),=(-1,1，-1),

∴cos〈,〉=.

故二面角B—EF—C的大小是π-arccos.

点拨：对于有关立体几何问题，如果有方便建立空间直角坐标系的条件（主要是指当题目的条件中出现了一个点处有三条两两垂直的直线）时，通常在处理相关问题的过程中可以考虑建立坐标系，从而借助于向量的有关知识将问题解决.