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精英家教网阅读下列材料,试解决下问题:
圆是自然界中常见的图形,它的图形非常优美,同时它还具有一些其它图形所不具有的性质,如:圆上任意一点到圆心的距离都相等;圆的内接四边形的对角互补等.在半径为R的圆的内接四边形ABCD中,AB=
3
-1
,BC=
3
+1
cos∠ABC=-
1
4
,且△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,求:
(1)圆的半径R;
(2)
DA
DC
的值;
(3)四边形ABCD的周长.
分析:(1)求半径有如下方法:构造含半径R的三角形,解三角形求出半径R值;或是根据正弦定理,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,根据本题的已知条件,可知用正弦定理相对可行,故可由余弦定理求出AC,再由正弦定理求R.
(2)要求
DA
DC
,根据向量数量积的计算公式,我们要求出两个向量模的积及夹角的余弦值,由∠B与∠互补,夹角的余弦值易得,然后根据△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,也可以得到两个向量模的积,代入可得答案.
(3)由AB=
3
-1
,BC=
3
+1
,我们要求四边形的周长,关键是要求出AD、CD边的长,结合(2)结论和余弦定理,易得答案.
解答:解:(1)在三角形ABC中,
有余弦定理:AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC
∵AB=
3
-1
,BC=
3
+1
cos∠ABC=-
1
4

所以AC=3
由正弦定理可知:
AC
sin∠ABC
=2R=
3
15
4
,∴R=
2
15
5

(2)
DA
DC
=|DA|•|DC|cos∠ADC=
1
4
|DA|•|DC|

因为△ACD的面积等于△ABC面积的3倍,
1
2
•DA•DC•sin∠ADC
=3•
1
2
•BA•BC•sin∠ABC

∴DA•DC=3BA•BC,
∵BA•BC=2,
DA
DC
=
3
2

(3)三角形ADC中,有AC2=AD2+AC2-2AD•ACcos∠DAC
又∵DA•DC=6,所以有AD2+AC2=12,
从而有∴DA+DC=2
6

所以四边形ABCD的周长为2
6
+2
3
点评:求圆的半径有如下方法:①构造含半径R的三角形,解三角形求出半径R值;②如果圆为△ABC的外接圆,则根据正弦定理,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R;③如果圆为△ABC的内切圆,则根据面积公式S=
1
2
•l•r(其中l表示三角形的周长).
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