Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱长都相等，D、E分别为AC₁，BB₁的中点。（1）求证：DE∥平面A₁B₁C₁；（2）求二面角A₁—DE—B₁的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

解析:

（1）取A₁C₁中点F，连结B₁F，DF，∵D₁E分别为AC₁和BB₁的中点，DF∥AA₁，

DF=（1/2）AA₁，B₁E∥AA₁，B₁E=（1/2）AA₁，∴DF∥B₁E，DF=B₁E，∴DEB₁F为平行四边形，∴DE∥B₁F，又B₁F在平面A₁B₁C₁内，DE不在平面A₁B₁C₁，∴DE∥平面A₁B₁C₁

（2）连结A₁D，A₁E，在正棱柱ABC—A₁B₁C₁中，因为平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁是平面A₁B₁C₁与平面ACC₁A₁的交线，又因为B₁F在平面A₁B₁C₁内，且B₁F⊥A₁C₁，，所以B₁F⊥平面ACC₁A₁，又DE∥B₁F，所以DE⊥平面ACC₁A₁所以∠FDA₁为二面角A₁—DE—B₁的平面角。并且∠FDA₁=（1/2）∠A₁DC₁，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA₁C₁=90⁰，D是AC₁的中点，所以即为所求的二面角的度数。