Question

已知如图10-21，斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

 

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

 

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

 

（Ⅲ）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离

图10-21

Answer 1

(Ⅰ)解：作A₁D⊥AC，垂足为D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC

∴∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

∴∠A₁AD＝45°为所求.

 

(Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，

∴DE＝1，AD＝A₁D＝，tg∠A₁ED＝＝．

故∠A₁ED＝60°为所求.

 

(Ⅲ)

方法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离.

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，

∴∠HBC＝∠A₁ED＝60°

∴CH＝BCsin60°＝为所求.

 

方法二：连结A₁B.

 

根据定义，点C到面A₁ABB₁的距离，即为三棱锥C－A₁AB的高h.

由V_锥C－A1AB＝V_锥A1－ABC得S_△AA1B·h＝S_△ABC·A₁D，

 

即×2h＝×2×3

 

∴h＝为所求.