Question

如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：
①从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止
②每次只向右或向下按路线运行
③在每个路口向下的概率

1

3

④到达P时只向下，到达Q点只向右
（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；
（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由题意，向下概率为

1

3

，则向右概率为1-

1

3

=

2

3

．从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，可求其概率，同理可求海宝过点从A经过N到点C的概率；
（2）求出X=1，X=2，X=3相应的概率，从而可求随机变量X的分布列及期望．

解答：解：（1）由题意，向下概率为

1

3

，则向右概率为1-

1

3

=

2

3

．
从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，其概率为(

1

3

)2

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

4

81

；
从A过N到C，概率为

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

16

81

（7分）
（2）P（X=1）=（

1

3

）³+

C

2 3

（

1

3

）² 

2

3

×

1

3

=

3+6

81

=

9

81

；P（X=2）=

C

2 4

（

1

3

）²（

2

3

）²=

24

81

；P（X=3）=（

2

3

）³+

C

2 3

（

2

3

）²

1

3

×

2

3

=

24+24

81

=

48

81

，
∴E（X）=

9

81

+

24

81

×2+

48

81

×3=

201

81

=

67

27

（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查随机变量X的分布列及期望，求出相应的概率是关键．