Question

20．判断函数f（x）=$\frac{2x}{x-1}$的单调性，并证明之．

Answer 1

分析 任取1＜x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答 解：函数f（x）的定义域是（-∞，1）∪（1，+∞），
函数f（x）在区间（1，+∞）是单调减函数．理由如下：
设1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{2x}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{{2x}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
因为1＜x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以f（x）在区间（1，+∞）是单调减函数，
同理可证f（x）在（-∞，1）是单调递减函数．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．