Question

已知向量

OP

=（2cos（

π

2

+x），-1），

OQ

=（-sin（

π

2

-x），cos2x），f（x）=

OP

.

OQ

．若a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边，且满足f（A）=1，b+c=5+3

2

．a=

13

，则△ABC的面积为

 

．•

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标表示以及诱导公式和二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式化简可得f（x），再由特殊角的三角函数值，可得角A，再由余弦定理和面积公式计算即可得到．

解答： 解：向量

OP

=（2cos（

π

2

+x），-1），

OQ

=（-sin（

π

2

-x），cos2x），
则f（x）=

OP

•

OQ

=-2cos（

π

2

+x）sin（

π

2

-x）-cos2x=2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
由f（A）=1即

2

sin（2A-

π

4

）=1，由于A为锐角，则2A-

π

4

=

π

4

，
则A=

π

4

，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos

π

4

=（b+c）²-2bc-

2

bc，
由b+c=5+3

2

．a=

13

，可得13=（5+3

2

）²-（2+

2

）bc，
解得bc=15，
则△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×15×

2

2

=

15 2

4

．
故答案为：

15 2

4

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的化简，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．