Question

已知向量

m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

n

=（1，2sinB），且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若

sinA

sinB

+

3cosA-2

3cosB-2

=0，且S_△ABC=

3

，求边c的长．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理化简已知等式，得到a+b=

3

2

c，再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinC以及已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab，cosC的值代入即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得

m

•

n

═sin（A-B）+2sinBsin（

π

2

-A）
=sin（A-B）+2sinBcosA
=sinAcosB-cosAsinB+2sinBcosA
=sinAcosB+cosAsinB
=sin（A+B）
=sinC
∴sinC=-sin2C=-2sinCcosC，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=120°；
（Ⅱ）由题意得

sinA(3cosB-2)+sinB(3cosA-2)

sinB(3cosB-2)

=0
化简可得：2sinA+2sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：2a+2b=3c，即有a+b=

3

2

c．
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab×

3

2

=

3

，即ab=4，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab，即3c²=ab=4，
解得：c=

4 5

5

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．