Question

设虚数z满足．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入得|（2x+3）+2yi|=|（x+2）-yi|，
整理得：x²+y²=3，即|z|=…6′
（2）设存在实数k，使得为实数，
则=+
=+
=+
=（+）+（-）i∈R，
∴-=0，
∵y≠0，
∴k=±．
故存在实数k且k=±，使为实数…12′
分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），代入已知条件，可得|z|=；
（2）设存在实数k，使得为实数，利用复数的模的性质将化为：（+）+（-）i∈R，从而得到-=0，继而可求得k的值．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）代入条件关系式是突破口，着重考查复数模的性质，属于中档题．