Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且点（1，

3

2

）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为

6 2

7

，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a²=b²+c²，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当l与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由题意可得e=

c

a

=

1

2

，
又a²=b²+c²，所以b2=

3

4

a2
因为椭圆C经过（1，

3

2

），代入椭圆方程有

1

a2

+

9 4

3 4 a2

=1
解得a=2
所以c=1，b²=4-1=3故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，计算得到：A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)，
S△AOB=

1

2

•|AB|•|OF1|=

1

2

×1×3=

3

2

，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+k2

64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2

即|AB|=

1+k2

•

12 k2+1

3+4k2

=

12(k2+1)

3+4k2

又圆O的半径r=

|k×0-0+k|

1+k2

=

|k|

1+k2

所以S△AOB=

1

2

•|AB|•r=

1

2

•

12(k2+1)

3+4k2

•

|k|

1+k2

=

6|k| 1+k2

3+4k2

=

6 2

7

化简，得17k⁴+k²-18=0，即（k²-1）（17k²+18）=0，
解得k12=1，k22=-

18

17

（舍）
所以，r=

|k|

1+k2

=

2

2

，故圆O的方程为：x2+y2=

1

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线，圆的关系，综合性强．