Question

设数列{a_n}n∈N满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n∈N^*时，令bn=

n+1

n+2

.

1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，可知数列{a_n+1-a_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出a_n-a_n-1．再利用“累加求和”a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（2）由于bn=

n+1

n+2

•

1

n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₁-a₀=2-0=2为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n-a_n-1=2+（n-1）×2=2n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2n+2（n-1）+…+4+2
=

n(2+2n)

2

=n（n+1）=n²+n．
∴an=n2+n．
（2）bn=

n+1

n+2

•

1

n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查了通过变形化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式、“累加求和”、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．