Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）椭圆

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，设p（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，由△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，能求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）椭圆

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
设p（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，
解得k＞

3

2

，或k＜-

3

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、韦达定理、根与系数的关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．