Question

（本题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点、在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且的最大值为90°，直线l过左焦点与椭圆交于A、B两点，

△的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率；（5分）

（2）求椭圆C的方程。（9分）

Answer 1

（本题满分14分）

解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，设椭圆方程：

   其焦距为， 则 ，，则．

所以动点M的轨迹方程为：．                  ………………………5分

（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

∵，∴．                  ………………………6分

　　  ∵，，  ∴．

　　　∴ ．（1）              ………………………8分

由方程组  得．  

由 得

 则，，              ………………………11分

代入①，得．

即，解得，或． 经验证。    ………………………13分

　所以，直线的方程是或．       ………………………14分