Question

(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.

（文）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求的面积；

(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）与共线，设出点的坐标，用向量的坐标运算即可证明.

【解析】

试题分析：(1)由，得                                        ……2分

解得a²=2,b²=1,

所以，椭圆方程为.                                           ……4分

(2)设PQ:y=x-1，

由得3y²+2y-1=0,                                           ……6分

解得： P(),Q(0,-1)，

由条件可知点,

所以=|FT||y₁-y₂|=.                                          ……10分

(3) 判断：与共线.                                            ……11分

设

则(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂),                        ……12分

由得.                       ……13分

(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)=(x₂-x₁)k(x₂-1)-(x₂-2)(kx₁-k+kx₂-k)

=3k(x₁+x₂)-2kx₁x₂-4k=3k-2k-4k

=k()=0.                                          ……15分

所以，与共线.                                                ……16分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的判定和应用以及向量共线的坐标运算的应用，考查学生的运算求解能力和思维的严密性.

点评：高考中圆锥曲线的题目一般难度较大，而且一般运算量较大，要仔细运算，更要结合图形数形结合简化求解过程.