Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）求证：EF⊥平面DCE；
（3）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

Answer 1

（1）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形， 又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG， 从而四边形ADGE为平行四边形， 故AE∥DG。 因为AE平面DCF，DG平面DCF， 所以AE∥平面DCF。 （2）证明：由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC， 得DC⊥平面BEFC， 所以DC⊥EF， 又EF⊥EC，DC与EC交于点C， 所以EF⊥平面DCE。 （3）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH， 由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC， 得AB⊥平面BEFC， 从而AH⊥EF， 所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角， 在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2， 所以， 又因为CE⊥EF，所以CF=4， 从而BE=CG=3，于是BH=BE·sin∠BEH=， 因为AB=BH·tan∠AHB， 所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°。