Question

（2012•自贡三模）己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II） M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若

|OP|

|OM|

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．

解答：解：（Ⅰ）由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1． 
（Ⅱ）设M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及点点P在椭圆C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=

x2+6

3(x2+y2)

=λ²，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-

3

，

3

]．
①当λ=

3

3

时，化简得y²=6，
∴点M轨迹方程为y=±

6

（-

3

≤x≤

3

），轨迹是两条平行于x的线段；
②当λ≠

3

3

时时，方程变形为

x2

6 3λ2-1

+

y2

6 3λ2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．
当0＜λ＜

3

3

时，点M轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-

3

≤x≤

3

的部分；
当

3

3

＜λ＜1时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆满足-

3

≤x≤

3

的部分；
当λ≥1时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆．

点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．