Question

已知△ABC中，a+b=

3

c，2sin²C=3sinAsinB．
（1）求∠C；
（2）若S_△ABC=

3

，求c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简得到2c²=3ab，利用余弦定理表示出cosC，将各自的值代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把ab，sinC，以及已知面积代入求出ab的值，即可确定出c的值．

解答： 解：（1）已知等式2sin²C=3sinAsinB，利用正弦定理化简得：2c²=3ab，即ab=

2

3

c²，
∵△ABC中，a+b=

3

c，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

3c2- 4 3 c2-c2

4 3 c2

=

1

2

，
则∠C=60°；
（2）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，sinC=

3

2

，
∴ab=4，即2c²=3ab=12，
则c=

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．