Question

（理）已知函数，，α，β是参数，x∈R，，
（1）若，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若，判别h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若，t（x）=f（x）g（x）是偶函数，求β；
（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二阶行列式的运算分别求得函数f（x）、g（x），分别求出，（x）=f（x）+g（x）和，h（x）=f²（x）+g²（x）的解析式，即可判定其奇偶性；
（2），求出t（x）=f（x）g（x）的解析式，法一：利用积化和差公式，把化简为，根据函数为偶函数，即可求得β的值；法2：利用偶函数的定义，可以直接求出β的值；法3：特殊值法，根据函数是偶函数，可得到，解此方程即可求得β的值；
（3）根据问题（1）（2）即可以写出以下结果：写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以．
解答：（理）解：（1）f（x）=sinx-cosα+cosx-cosα，g（x）=cosx•cosα-sinx•sinα
f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β）

所以h（x）是偶函数                                                  

=
所以h（x）是非奇非偶函数       
（2）方法一（积化和差）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数，

t（x）=f（x）•g（x）为偶函数，所以是偶函数，
，，
∴
方法二（定义法）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数
所以
展开整理对一切x∈R恒成立           
，，
∴
方法三（特殊值法）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数
所以
∴，
所以
，，
∴
（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、，f（x）+g（x）是偶函数；           2、，f（x）+g（x）是奇函数；
3、，f（x）+g（x）是非奇非偶函数；      4、，f（x）+g（x）既奇又偶函数
第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、，f³（x）+g³（x）是偶函数；（数字不分奇偶）  
2、，f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数，f⁴（x）+g⁴（x）是偶函数（数字只能同奇数）
3、，f⁵（x）+g⁵（x）是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但求相同）
4、，f³（x）+g³（x）是既奇又偶函数   （数字只能奇数）
，f²（x）+g²（x）是非奇非偶函数
第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、f³（x）+g³（x）是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则
2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数（数字只能正奇数），
f²（x）+g²（x）是偶函数（数字只能正偶数），则
3、f³（x）+g³（x）是偶函数 （数字只能正奇数），则
第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，（16分）
1、的充要条件是f（x）+g（x）是偶函数
2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是
f²（x）+g²（x）是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是
3、f³（x）+g³（x）是偶函数 （数字只能正奇数）的充要条件是
第五层，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以，限于篇幅省略）
1、，n∈N^*时，fⁿ（x）+gⁿ（x）都是偶函数
2、，n∈N^*时，n是正奇数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是奇函数
，n∈N^*时，n是正偶数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是偶函数
3、，n∈N^*时，n奇数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是既奇又偶函数
4、，n∈N^*时，n偶数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是非奇非偶函数
点评：本题考查函数的奇偶性的判定，题目设置新颖，特别是问题（3）的设置，侧重与对于知识的灵活应用，分析、归纳、总结能力的考查，属中档题．