Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k₁，k₂且k1•k2=-

1

4

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM•kBN=-

1

4

，证明直线l过定点，并求出这个定点．

Answer 1

分析：（1）利用斜率计算公式即可得出；
（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；
②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论．

解答：解：（1）由题意得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，（x≠±2），即x²+4y²=4（x≠±2）．
∴动点P的轨迹C的方程是

x2

4

+y2=1(x≠±2)．
（2）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=64k²m²-16（m²-1）（1+4k²）=16（1+4k²-m²）＞0．
∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
①若OM⊥ON，则x₁x₂+y₁y₂=0，∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴

(1+k2)(4m2-4)

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，化为m2=

4

5

(1+k2)，此时点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

．
②∵k_BM•k_BN=-

1

4

，∴

y1

x1-2

•

y1

x1+2

=-

1

4

，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0，
∴x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
代入化为4m2-4-

8km(4km-2)

1+4k2

+4m2+4=0，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．

点评：本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．