Question

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差（x）	10	11	13	12	8
发芽数y	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程

y

=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

Answer 1

分析：本题考查的知识点是古典概型及回归直线方程的求法．
（1）要求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率，我们可以计算出从5组数据中选取2组数据的基本事件个数，及抽到相邻两组数据的情况的基本事件个数，再由对立事件概率公式求出答案．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及x_i²的累加值，及x_iy_i的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）根据（2）的结论，我们将表中的数据代入回归直线方程，并将预报值与测量值进行比较，如果误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．

解答：解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A
∵从5组数据中选取2组数据共有10种情况
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种
∴P（A）=1-

4

10

=

3

5

（2）由已知易得

.

x

=12，

.

y

=24，代入回归系数公式解得
b=

5

2

，a=

.

y

-b

.

x

=-3
∴y关于x的线性回归方程为

y

=

5

2

x-3
（3）当x=10时，

y

=

5

2

×10-3=22
|22-23|＜2
当x=8时，

y

=

5

2

×8-3=17
|17-16|＜2
∴该研究所得到的线性回归方程是可靠的．

点评：用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点(

.

x

，

.

y

)．是两个系数之间的纽带，希望大学注意．