Question

动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A´：(x－)²＋y²＝12相切．

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

试题分析：(1)A´(，0)，依题意有|MA´|＋＝2

|MA´|＋|MA|

＝2 ＞2              3分

∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a＝，c＝  ∴b²＝1．因此点M的轨迹方程为          5分

(2) 解：设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：(k²＋3) y²－4k²y＋4k²－3＝0

由△＞0得16k⁴－(4k²－3)(k²＋3)＞0 0≤k²＜1        7分

设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，

则y₁＋y₂＝，y₁y₂＝

又＝(x₁，y₁－2)，＝(x₂，y₂－2)

∴·＝x₁x₂＋(y₁－2)(y₂－2)

＝k(y₁－2)·k (y₂－2) ＋(y₁－2)(y₂－2)

＝(1＋k²)

＝                     10分

∵0≤k²＜1 ∴3≤k²＋3＜4 ∴·∈          12分

考点：动点的轨迹方程轨迹方程及直线与圆相交的位置关系

点评：求轨迹方程大体步骤：1建立坐标系，设出所求点，2，找到动点满足的关系，3关系式坐标化整理化简，4去除不满足要求的点