Question

关于x的方程2x²+3ax+a²-a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为________．

Answer 1

分析：原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x²+3ax+a²-a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．
解答：（1）对于方程 2x²+3ax+a²-a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或-1，
△=9a²-8（a²-a）=a（a+8）≥0，得a≤-8或a≥0，
将x=1代入方程，得2+3a+a²-a=0，即a²+2a+2=0，a无实根；
将x=-1代入方程，得2-3a+a²-a=0，即a²-4a+2=0，得a=2±
（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，
△=9a²-8（a²-a）=a（a+8）＜0，得-8＜a＜0 由韦达定理，
有 cosθ+isinθ+cosθ-isinθ=2cosθ=-a，
得cosθ=-a，
（cosθ+isinθ）（cosθ-isinθ）=cos²θ+sin²θ=1=（a²-a），
即（a+1）（a-2）=0，?a=2或a=-1，
a=-1时，cosθ=∈[-1，1]；
a=2不在-8＜a＜0的范围内，舍去．
∴a=-1
故答案为：a=2±或-1
点评：本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、复数的三角形式的应用、复数相等等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．