Question

（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为

2

3

，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为

2

5

，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

分析：（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为

2

3

，小红中奖的概率为

2

5

，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X₁，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X₁），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X₂）．根据题意知X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，

2

5

），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X₁）＞E（3X₂），从而得出答案．

解答：解：（1）由题意知，小明中奖的概率为

2

3

，小红中奖的概率为

2

5

，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=

2

3

×

2

5

=

4

15

，∴P（A）=1-P（X=5）=

11

15

；
即他们的累计得分x≤3的概率为

11

15

．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X₁，
甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X₁）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X₂）
由已知可得，X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，

2

5

），
∴E（X₁）=2×

2

3

=

4

3

，E（X₂）=2×

2

5

=

4

5

，
从而E（2X₁）=2E（X₁）=

8

3

，E（3X₂）=3E（X₂）=

12

5

，
由于E（2X₁）＞E（3X₂），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．