Question

如图，已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分别是A，B，且α∩β=l，．
（Ⅰ）求证：l⊥平面PAB；
（Ⅱ）若，判断平面α与平面β的位置关系，并给出证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为PA⊥α，l?α，所以PA⊥l，同理PB⊥l．
又PA∩PB=P，所以l⊥平面PAB．
（Ⅱ）设l与平面PAB的交点为H，连接AH，BH．
因为l⊥平面PAB，所以AH⊥l，BH⊥l，
所以∠AHB是二面角α-l-β的平面角．
又，所以PA²+PB²=AB²，
即∠AHB=90°．
所以平面α⊥平面β．
分析：（I）欲证l⊥平面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证l与平面PAB内两相交直线垂直，而PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB=P，满足定理条件；
（II）设l与平面PAB的交点为H，连接AH，BH，根据二面角平面角的定义可知∠AHB是二面角α-l-β的平面角，利用勾股定理可证∠AHB=90°，根据面面垂直的定义可知平面α⊥平面β．
点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．