Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，e）和（e，

3

2

），其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，取点A(0，

2

)，E(x0，0)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于原点的对称点，证明：直线QG与椭圆C只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）把点（1，e）和（e，

3

2

）代入椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a²=2，b²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设D（x₁，0），由题意知AE与AD垂直，

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，由点G是点D关于原点的对称点，得到G（

2

x0

，0），由此推导出直线QG与椭圆C只有一个公共点．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（1，e）和（e，

3

2

），
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e2 a2 + 3 4 b2 =1

，∴

1 a2 + a2-b2 a2b2 =1 a2-b2 a4 + 3 4b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：设D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），
∴

AE

=（x0，-

2

），

AD

=（x1，-

2

），
由题意知AE与AD垂直，∴

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，∴x₁=-

2

x0

，
又∵点G是点D关于原点的对称点，
∴G（

2

x0

，0），
∴kQG=

y0-0

x0- 2 x0

=

y0•x0

x02-2

=

x0

-2y0

，
∴l_QC：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
整理，得y=

2-x0•x

2y0

，（*）
将（*）式代入椭圆方程，得x2+2•(

2-x0•x

2y0

)2=2，
整理，得2x²-4x₀•x+2x 0 ²=0，
△=（-4x₀）²-4（2×

2x

2 0

）=0
∴直线QG与椭圆C只有一个公共点．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆只有一个公共点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．