Question

已知f（x）=（x+1）•|x-1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围？

Answer 1

分析：关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，即函数f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的图象有三个交点，在同一坐标中画出函数f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的图象，数形结合可得答案．

解答：解：在同一坐标系中画出函数f（x）=（x+1）•|x-1|=

-x2+1，x≤1 x2-1，x＞1

和y=x+m的图象如图所示；
根据f′（x）=

-2x ，x≤1 2x ，x＞1

，令f′（x）=0，解得x=-

1

2

，
此时切点坐标为（-

1

2

，

3

4

），切线方程为y=x+

5

4

故当-1＜x＜

5

4

时，函数f（x）和y=x+m的图象有三个零点
此时关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，
即满足条件的实数m的取值范围为（-1，

5

4

）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，利用数形结合思想解答函数的零点是求函数零点个数及位置最常用的方法，一定要熟练掌握．