Question

（2013•温州二模）抛物线y²=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（　　）

• A．k2=

  1

  4

• B．k2=

  3

  4

• C．k2=

  1

  2

• D．k2=

  3

  2

Answer 1

分析：根据抛物线方程求出点C（-

p

2

，0），可得直线AB方程为y=k（x-

p

2

），将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x₁+x₂和x₁x₂关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出|AB|=

1+k2

•

4-4k2

k2

p．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=

p(2-k2)

k2

+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得

1+k2

•

1-k2

=

1

2

，即可解出k2=

3

2

，得到本题答案．

解答：解：∵抛物线y²=2px的准线方程为x=-

p

2

，
∴准线与x轴的交点C坐标为（-

p

2

，0）
因此，得到直线AB方程为y=k（x-

p

2

），与抛物线y²=2px消去y，
化简整理，得k2x2+p(k2-2)x+

1

4

p2k2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得

x1+x2= p(2-k2) k2 x 1x2= 1 4 p2

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2 -4x 1x2

=

1+k2

•

p2(2-k2)2 k4 -p2

=

1+k2

•

4-4k2

k2

p
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根据抛物线的定义得|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
因此，得到x₁+x₂+p=2

1+k2

•

4-4k2

k2

p，即

p(2-k2)

k2

+p=2

1+k2

•

4-4k2

k2

p，
化简得

2p

k2

=

4 1+k2 1-k2

k2

p，约去

2p

k2

得

1+k2

•

1-k2

=

1

2

∴（1+k²）（1-k²）=

1

4

，解之得k²=

3

2

故选：D

点评：本题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．