Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=

2

，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BM∥平面D₁AC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面D₁AC内一直线平行，连接D₁O，易证四边形D₁OBM是平行四边形，则D₁O∥BM，D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证D₁O⊥平面AB₁C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D₁O与平面AB₁C内两相交直线垂直，连接OB₁，根据勾股定理可知OB₁⊥D₁O，AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，满足定理所需条件．

解答：解：（Ⅰ）连接D₁O，如图，
∵O、M分别是BD、B₁D₁的中点，BDD₁B₁是矩形，
∴四边形D₁OBM是平行四边形，∴D₁O∥BM．（3分）
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC．（7分）
（Ⅱ）连接OB₁，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=

2

，
∴B1D1=2

2

，OB₁=2，D₁O=2，
则OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（10分）
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．