Question

如图1所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

   （1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

Answer 1

（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝    …………1分

若直线经过点B（3，1）时，则b＝     …………1分

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1      …………1分

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

   此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b                  …………2分

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S_矩－(S_△OCD＋S_△OAE ＋S_△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

…………2分

∴      …………1分

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形…………1分

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

…………1分

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，…………1分

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴…………1分

∴S_{四边形DNEM}＝NE·DH＝

∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．