Question

有以下四个命题：
（1）函数f（x）=x²e^x既无最小值也无最大值；
（2）在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率为

5

6

；
（3）若不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25对任意正实数m，n恒成立，则正实数a的最小值为16；
（4）已知函数f（x）=

5 x+1 -3，(x≥0) x2+4x+2，(x＜0)

，若方程f（x）=k（x+2）-2恰有三个不同的实根，则实数k的取值范围是k∈（0，2）；
以上正确的序号是：

 

．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数f（x）=x²e^x最值情况；
（2）利用几何概型的概率公式进行判断；
（3）利用基本不等式成立的条件进行判断；
（4）利用数形结合，判断方程根的取值情况．

解答：解：（1）f′（x）=xe^x（2+x）．令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）单调递增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴函数f（x）在（-2，0上单调递减．
∴函数f（x）在x=0取得极小值，同时也是最小值f（0）=0；在x=-2取得极大值，f（-2）=

4

e2

．∴（1）错误．
（2）|x-1|+|x+2|=

-2x-1，x＜-2 3，-2≤x≤1 2x+1，x＞1

，
则当x＜-2，由|x-1|+|x+2|≤5得-2x-1≤5，即2x≥-6，解得-3≤x＜-2．
当-2≤x≤1，由|x-1|+|x+2|≤5得3≤5，恒成立，此时-2≤x≤1．
当x＞1，由|x-1|+|x+2|≤5得2x+1≤5，即x≤2，解得1＜x≤2，
综上：不等式|x-1|+|x+2|≤5的解为-3≤x≤2．
∴在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率为

2-(-3)

3-(-3)

=

5

6

，∴（2）正确．
（3）由（m+n）（

a

m

+

1

n

）=a+1+

an

m

+

m

n

≥a+1+2

an m • m n

=a+2

a

+1=（

a

+1）²，
要使不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25对任意正实数m，n恒成立，
则（

a

+1）²≥25，即

a

+1≥5，即

a

≥4，
∴a≥16，则正实数a的最小值为16，∴（3）正确．
（4）作出函数f（x）的图象如图：函数y=k（x+2）-2表示过点A（-2，-2）的直线，当直线的斜率k=0时，此时方程f（x）=k（x+2）-2有两个不同的根，
当直线经过点（0，2），即k=2时，方程f（x）=k（x+2）-2有两个不同的根，即当k∈（0，2）时，方程f（x）=k（x+2）-2恰有三个不同的实根，
由图象可知当k＜0时，方程f（x）=k（x+2）-2也存在三个不同的实根，∴（4）错误．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题主要考查函数的性质的综合应用，涉及的知识点较大，综合性较强，难度较大．