Question

已知函数，其中m∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导数f´（x），解不等式f´（x）≥0，f´（x）≤0即得函数的单调区间；
（2）“对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等价于“函数y=f´（x），x∈[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”，根据二次函数的性质，对m进行分类讨论即可求得f′（x）的最大值、最小值；
（3）易判断y=f（x）既有极大值也有极小值，设f´（x）=0，即x²-2mx-1=0，由此对f （x）化简得f （x）=-x（m²+1），由（1）得到f（x）的极大值、极小值，根据极值的符号借助图象可判断函数f（x）零点的个数；
解答：解：（1）f´（x）=x²-2mx-1，
由f´（x）≥0，得x≤m-，或x≥m+；
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，m-），（m+，+∞），减区间（m-，m+）．
（2）“对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等价于“函数y=f´（x），x∈[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”．
对于f´（x）=x²-2mx-1，对称轴x=m．
①当m＜-1时，f´（x）的最大值为f´（1），最小值为f´（-1），由 f´（1）-f´（-1）≤4，即-4m≤4，解得m≥-1，舍去；                                  
②当-1≤m≤1时，f´（x）的最大值为f´（1）或f´（-1），最小值为f´（m），由 ，即，解得-1≤m≤1；     
③当m＞1时，f´（x）的最大值为f´（-1），最小值为f´（1），由 f´（-1）-f´（1）≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去；
综上，实数m的取值范围是[-1，1]．
（3）由f´（x）=0，得x²-2mx-1=0，
因为△=4m²+4＞0，所以y=f（x）既有极大值也有极小值．
设f´（x）=0，即x²-2mx-1=0，
则f （x）=x³-mx²-x+m=-mx²-x+m=-x（m²+1），
由（1）知：极大值f（m-）=-（m-）（m²+1）＞0，
极小值f（m+）=-（m+）（m²+1）＜0，
故函数f（x）有三个零点．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点个数，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力，具有一定综合性．