Question

m，n 是正整数，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次项的系数的和为17，
求：（1）f（x）中x²项的系数的最小值；
（2）对（1）中求相应的m，n的值，并求出x⁵的系数．

Answer 1

分析：（1）m，n 是正整数，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次项的系数的和为17⇒m+n=17⇒n=17-m，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²项的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

[m²+（17-m）²]-

17

2

=

1

2

×2（m²-17m）+136通过配方可求得f（x）中x²项的系数的最小值；
（2）由（1）可求得m=8，n=9或m=9，n=8，不妨令m=8，n=9，x⁵的系数为：

C

5 8

+

C

5 9

=

C

3 8

+

C

4 9

，其值可求．

解答：解：（1）∵m，n 是正整数，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次项的系数的和为17，
∴m+n=17，n=17-m，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²项的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

[m²+（17-m）²]-

17

2

=

1

2

×2（m²-17m）+136=(m-

17

2

)2+

255

4

，
∵m，n 是正整数，故当m=8或m=9时，

C

2 m

+

C

2 n

有最小值64；
（2）当m=8，n=9，x⁵的系数为：

C

5 8

+

C

5 9

=

C

3 8

+

C

4 9

=56+126=182，
当m=9，n=8，x⁵的系数为：

C

5 9

+

C

5 8

=182．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键在于正确理解题意，熟练应用组合数公式，着重考查配方法球最值，属于中档题．