Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂^x]=6，若x是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x∈（a，a+1）（a∈N^*），则a=    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得f（x）-log₂x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．
解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=，
又x是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-的零点，
分析易得F（1）=-＜0，F（2）=1-=1-＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故答案为：1
点评：本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．