Question

已知函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β﹣1），log_aa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2＜α＜4＜β；
（3）若函数g（x）=log_aa（x﹣1）﹣，x∈[α，β]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer 1

解．（1）按题意，得．
∴即 α＞2．                                    
又
∴关于x的方程．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．
关于x的二次方程ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．
． 
 故 ．            
（2）令Φ（x）=ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a），
则Φ（2）●Φ（4）=4a●（18a﹣2）=8a（9a﹣1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    
（3）∵，

=．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＞0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故 M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．                                    
∴，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．
若M≥1，则9a=a^M．
∴9=a^M﹣1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．