Question

12．已知A（-$\frac{2}{{k}^{2}-1}$，0），B（0，-$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$），其中k≠0且k≠±1，直线l经过点P（1，0）和AB的中点．
（1）求证：A，B关于直线l对称；
（2）当1＜k＜$\sqrt{2}$时，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意只需证明l和AB垂直即可，由斜率公式可得l和AB的斜率，乘积为-1即可；
（2）可得直线l在y轴上的截距b=-$\frac{1}{k}$，由1＜k＜$\sqrt{2}$和不等式的性质可得．

解答 解：（1）∵直线l经过点P（1，0）和AB的中点（-$\frac{1}{{k}^{2}-1}$，-$\frac{k}{{k}^{2}-1}$），
∴只需证明l和AB垂直即可，由斜率公式可得l的斜率为$\frac{-\frac{k}{{k}^{2}-1}-0}{-\frac{1}{{k}^{2}-1}-1}$=$\frac{1}{k}$，
直线的AB的斜率为$\frac{-\frac{2k}{{k}^{2}-1}-0}{0-（-\frac{2}{{k}^{2}-1}）}$=-k，由$\frac{1}{k}$（-k）=-1可知直线垂直，
∴A，B关于直线l对称；
（2）由（1）可知l的斜率为$\frac{1}{k}$，故l的方程为y=$\frac{1}{k}$（x-1），
可得直线l在y轴上的截距b=-$\frac{1}{k}$，
∵1＜k＜$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{k}$＜1，∴-1＜-$\frac{1}{k}$＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直线l在y轴上的截距b的取值范围为（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

点评 本题考查直线的对称轴和直线的垂直关系，涉及直线的截距和不等式的性质，属中档题．