Question

用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知知

                       ．

        所以．                              ………………4分

（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，

所以我们可设计如下表格

m K	1	2	3	4	5	‥‥
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．

且‥‥

所以 ．                             ………………8分

（Ⅲ）任取，，

若，则必有．

即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．

对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，

则，即，所以，

同理，第二行共有的数不大于，有，

     第行共有的数不大于，有．

所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．