Question

从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,同时发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年底当地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元,旅游业总收入为b_n万元.写出a_n、b_n;

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

Answer 1

解：(1)第1年投入为800万元,

    第2年投入为800×(1-)万元,…,

    第n年投入为800×(1-)^n-1万元.

    所以,n年内的总投入为a_n=800+800×(1-)+…+800×(1-)^n-1

    =4 000×［1-()ⁿ］.

    第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+)万元,…,第n年旅游业收入为400×(1+)^n-1万元.

    所以n年内的旅游业总收入为b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^n-1

    =1 600×［()ⁿ-1］.

    (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b_n-a_n＞0,

    即1 600×［()ⁿ-1］-4 000×［1-()ⁿ］＞0.

    化简得5×()ⁿ+2×()ⁿ-7＞0,

    设x=()ⁿ,代入上式得5x²-7x+2＞0.

    解此不等式,得x＜,x＞1(舍去).

    即()ⁿ＜,解得n≥5.

    故经过5年旅游业的总收入超过总投入.