Question

已知函数f（x）=8ln（1+e^x）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有：f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）化简f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

) 为 8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2•e

x1+x2

2

+ex1+x2)]，由x₁≠x₂，可得e^x₁+e^x₂＞2

ex1+x2

=2•e

x1+x2

2

，得到 f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)＞0，即可得到结论．
（2）由f′（x）＜0恒成立，得到f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，根据条件化简可得

BA

•

BC

＜0，故角B为钝角．若△ABC是等腰三角形，则只可能是

|BA|

=|

BC|

，由此推出f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

，这与（1）结论矛盾，结论得证．

解答：解：（1）∵f（x）=8ln（1+e^x）-9x，
∴f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=8[ln(1+ex1)-9x1+ln(1+ex2)-9x2-2ln(1+e

x1+x2

2

)+9(x1+x2)]
=8[ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e

x1+x2

2

)2] 
=8[ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2•e

x1+x2

2

+ex1+x2)]．
∵x₁≠x₂，∴e^x₁+e^x₂＞2

ex1+x2

=2•e

x1+x2

2

，∴f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)＞0，
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（2）∵f′（x）=

8ex

1+ex

-9=

-9-ex

1+ex

＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），且x₁＜x₂＜x₃．
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

，
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]•[f(x3)-f(x2)] 
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形．  若△ABC是等腰三角形，则只可能是

|BA|

=|

BC|

，
即（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂=

x1+x3

2

，∴有[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²，∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂）-f（x₃），
即：f（x₂）=

f(x1)+f(x3)

2

即：f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．

点评：本题考查比较两个式子大小的方法，利用导数研究函数的单调性，两个向量的数量积公式，用反证法证明数学命题，式子的变形化简，是解题的难点，属于中档题．