Question

（普通班）如图所示，从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭
圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，F₁是左焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据MF₁⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，从而得到比例线段：

MF1

BO

=

OF1

AO

．再根据点M在椭圆上，
求出M的纵坐标，得出MF₁=

b2

a

，再结合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e；
（2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，
在△F₁QF₂中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，可以证出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论
a²=2c²，可以证出cosθ≥0，从而得到0＜θ≤

π

2

．最后综合，得到θ∈[0，

π

2

]，即为∠F₁QF₂的取值范围．

解答：解：（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO⇒

MF1

BO

=

OF1

AO

…（*）
设点M（-c，y₁），代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

c2

a2

+

y12

b2

=1，解之得y₁=

b2

a

（舍负），所以MF₁=

b2

a

，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得

b2 a

b

=

c

a

，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴离心率e满足e²=

1

2

，可得e=

2

2

（舍负）（8分）      
（2）分两种情况加以讨论
①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；
②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，则
在△F₁QF₂中，F1F22=QF12+QF22-2QF1•QF2cosθ
即F1F22=(QF1 +QF2)2-2QF1•QF2(1+cosθ)，
将F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤(

QF1+QF2

2

)2=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）⇒cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤

π

2

，
综上所述，θ∈[0，

π

2

]，即∠F₁QF₂的取值范围是[0，

π

2

]（14分）

点评：本题结合一个特殊的椭圆，以求椭圆的离心率和焦点三角形中角的取值范围为载体，着重考查了椭圆的基本概念、余弦定理和基本不等式等知识点，属于中档题．