Question

已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p₁，p₂为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=

f1(x) 若f1(x)≤f2(x) f2(x) 若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为

b-a

2

（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

Answer 1

分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）对所有实数成立，等价于f₁（x）≤f₂（x）对所有实数x成立等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立等价于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，
（2）分两种情形讨论：①当|p₁-p₂|≤log₃2时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p₁-p₂|＞log₃2时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．

解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）（对所有实数x）等价于f₁（x）≤f₂（x）（对所有实数x）这又等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当|p₁-p₂|≤log₃2时，由（1）知f（x）=f₁（x）（对所有实数x∈[a，b]）
则由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知p1=

a+b

2

，
再由f1(x)=

3p1-x，x＜p1 3x-p1，x≥p1

的单调性可知，
函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度
为b-

a+b

2

=

b-a

2

（参见示意图）

（ii）|p₁-p₂|＞log₃2时，不妨设p₁＜p₂，则p₂-p₁＞log₃2，于是
当x≤p₁时，有f1(x)=3p1-x＜3p2-x＜f2(x)，从而f（x）=f₁（x）；
当x≥p₂时，有f1(x)=3x-p1=3p2-p1+x-p2=3p2-p1•3x-p2＞3log32•3x-p2=f2(x)
从而f（x）=f₂（x）；当p₁＜x＜p₂时，f1(x)=3x-p1，及f2(x)=2•3p2-x，由方程3x-p1=2•3p2-x
解得f₁（x）与f₂（x）图象交点的横坐标为x0=

p1+p2

2

+

1

2

log32（1）
显然p1＜x0=p2-

1

2

[(p2-p1)-log32]＜p2，
这表明x₀在p₁与p₂之间．由（1）易知f(x)=

f1(x)，p1≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤p2

综上可知，在区间[a，b]上，f(x)=

f1(x)，a≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤b

（参见示意图）

故由函数f₁（x）及f₂（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），即3p1-a=2•3b-p2，得p₁+p₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得(x0-p1)+(b-p2)=b-

1

2

[p1+p2-log32]=

b-a

2

综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为

b-a

2

．

点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．