Question

已知点P（ρ，θ）是圆C：ρ-2sinθ=0上的动点．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标；
（2）若P（x，y）为圆C上的一个动点，求2x+y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先在极坐标方程ρ-2sinθ=0的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（2）利用圆的参数方程

x=cosθ y=1+sinθ

，将求2x+y的取值范围问题转化为三角函数的最值问题加以解决．

解答：解：（1）圆x2+y2=2y，C(1，

π

2

)（角度不唯一

π

2

+2kπ）            （5分）
（2）设圆的参数方程为

x=cosθ y=1+sinθ

，2x+y=2cosθ+sinθ+1=

5

sin(θ+φ)+1
∵-

5

+1≤

5

sin(θ+φ)+1≤

5

+1
∴-

5

+1≤2x+y≤

5

+1，
即2x+y的取值范围为[-

5

+1，

5

+1]．（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．