Question

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若α=2β=60，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

Answer 1

【答案】分析：（1）作MC⊥AB，垂足为C，利用直角三角形中的边角关系，求得MC=2＜3.5，所以该船有触礁的危险，设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则MD=3.5，求出CD=0.5，可得BD=1.5，即该船自B向东航行1.5km会有触礁危险
（2）设CM=x，在△MAB中，由正弦定理求得BM的值，据x=BM•sin∠MBC 求得 x=，故当当x＞3.5，即时，该船没有触礁危险．
解答：解：（1）作MC⊥AB，垂足为C，由已知α=60°，β=30°，所以∠ABM=120°，∠AMB=30°所以BM=AB=4，∠MBC=60°，
所以，所以该船有触礁的危险．
设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则MD=3.5，在△MBC中，BM=4，BC=2，，，所以，BD=1.5（km），所以，该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．
（2）设CM=x，在△MAB中，由正弦定理得，，
即，，而，
所以，当x＞3.5，即，即时，该船没有触礁危险．
点评：本题考查直角三角形中的边角关系，正弦定理的应用，确定MC的长度，是解题的关键和难点．